2017-2018年度福建泉州九上质检倒一题解析
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(2017-2018泉州九上质检倒一)
已知一次函数y=kx－2√3的图象与x轴交于点A（－2，0），与y轴交于点B，点P的坐标为（0，m）.
（1）求k的值；
（2）当m为何值时，△POA∽△AOB？
（3）求√2PA+PB的最小值.
【图文解析】
（1）常规题，只需直接代入，即可求出，答案为：k＝－√3.
（2）画出符合条件的图，如下图示，
（由于本题中的两三角形相似已经对应好，答案相对简单些）
显然两答案（点P和点P’）是关于x轴对称，如下图示：
下面求解第一种情况的点P坐标，显然图中有常见的图形（子母Rt△形，即Rt△形斜边上的高），不论用三角函数的定义或相似或勾股定理，均可轻松求出（本公众号已有多篇文章分析），本文仅用三角函数的定义求解，其他方法略去.
由已知条件不难求得B（0，－2√3），且A（－2，0），得到OA＝2，OB＝2√3，可得tan∠ABO＝√3/3，如下图示，
不难得到∠1＝∠ABO，因此tan∠1＝OP/OA＝tan∠ABO＝√3/3，得到OP＝OA×（√3/3）＝2√3/3.
即m=2√3/3.
另一个答案为－2√3/3.
（当然，本题直接利用相似三角形的性质求解，类似，也很简便）
（3）分析：类似“求√2PA+PB的最小值”的最值问题常见的思路有两种，一是通过几何方法找出最值的点；二是通过建立函数，转化为求函数的最值问题.
本题可以通过几何方法找出最值的点（本公众号已有多篇文章解析），下面通过两种方法找出最值点，并求之.显然应先将“√2PA+PB”化为常规的“线段的和差问题”为此有以下两种解决办法.
法一：因为√2PA+PB＝√2（PA+√2/2×PB），而PB在y轴上（“直”线段），√2/2容易想到450的正余弦值，由此可以构造以PB为斜边的等腰直角三角形，因B点是固定的，因此可以先以B为450的角的顶点，PB为一边向右侧（左侧也可，但会给书写带来麻烦）作等腰直角三角形PBC，另一边与x轴交于E点，如下图示：
不难得到：△OBE也是等直角三角形，OE＝OB＝2√3，得E（2√3，0）.此时有PC＝（√2/2）PB，因此问题就转化为求PA+PC的最小值.
此时求PA+PC的最小值问题，只是个基本常规题，若过A点作AD⊥BE于D，则有PA+PC≤AD（根据“垂线段最短”），如下图示：
当P点与F点（AD与y轴的交点）重合时，PA+PC＝AD的值最小，此时AD可通过等腰直角△ADE求得，如下图示：
法二：直接将“√2PA+PB”转化为常规的两线段和，为此可直接作一个以A为直角顶点、PA为直角边的等腰直角三角形，为此可通过将PA绕A点逆时针旋转900得到，如下图示：
此时√2PA+PB＝PP’+PB.
下面说明：当点P在y轴上运动时，点P’总是在经过点（0，2）且平行于x轴的直线上运动.（先观察动画演示）.
结合如下图示的辅助线，通过全等，不难证得yP’＝MP‘=OA=2（定值），因此点P‘均在过（0，2）且平行于x轴的直线上.
PP’+PB≤BP’≤BK＝2+2√3.
即√2PA+PB≤2+2√3.
因此所求的最小值为2+2√3.
下面通过建立函数关系，转化为求函数中的最值问题.
法三：解析法（建立函数关系）
如下图示：
直接求出其最值显然有困难，但可通过函数关系，转化为“判别式相关“，问题就能迎刃而解了，本公众号也有多篇相关”用判别式求解最值“的问题，如中考压轴题（函数相关）图文解析 ——(2017福建倒一)，初高中衔接相关知识图文例析（4）—判别式的妙用，2017年广西玉林崇左中考填选压轴（抛物线及判别式）等等（可点击标题直接打开）.
【反思与拓展】
1.熟练掌握特殊角的三角函数值，并利用三角函数定义解题往往带来计算方便，书写简练、思维（逻辑）层次也清晰.
2.最后一可拓展为更一般情况，如可求出“mPA+nPB的最小值（其中m、n为任意正实数均可）“，均可用上述三种方法进行转化成常规的“线段和差的最值问题”，注意体会其中的解题思路.
特别说明：
进入公众号，回复“1,2,3,4……13”中的任意一个数字，可查找到相应资料.
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